Frog in a White Coat.

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割り算の筆算が引き算な理由。おまけあり。

 

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今回は軽く、割り算のひっさんが引き算なわけについての考察である。

たとえば、15÷2を筆算で計算するとき、2×7=14として、15ー14=1と計算するわけだが、15ー14のところが何故マイナスなのかありきたりな疑問がある。

四則演算に振り返ると、足し算と引き算と掛け算と割り算の4つだ。

+ - × ÷

しかしながら、大元をたどると全て足し算の計算で表すことができる。コンピュータに四則演算をさせるとき、そのコンピュータは足し算ができれば他のー、×、÷の計算もできるわけだ。

引き算

引き算の計算は「負の数」の足し算を使っている。

1-1+1-1=0\\1+(-1)+1+(-1)=0

 

掛け算

掛け算の計算は、とある数が何回足されたかの計算である。

2+2+2+2+2=10\\2×5=10

この5は回数である。

 

割り算

割り算の計算は、とある数から何回引かれたかの計算である。

10-2-2-2-2-2=0\\10÷2=5

この5は回数である。

 割り算の筆算について考察

15÷2の計算を考えてみよう。

15÷2とは、15から何回2が引けるかの計算である。

15÷2\\15-2-2-2-2-2-2-2=1

(1回目)15-2=13\\(2回目)13-2=11\\(3回目)11-2=9\\(4回目)9-2=7\\(5回目)7-2=5\\(6回目)5-2=3\\(7回目)3-2=1

1となって2で引けなくなった。ゆえに、15÷2=7余り1となる。

ここで

15-2-2-2-2-2-2-2=1

について考察する。

-2-2-2-2-2-2-2

の部分は掛け算の計算で表すことができる。

2+2+2+2+2=10\\2×5=10

と表せたので

-2-2-2-2-2-2-2=-2×7

となる。ゆえに、

15-2×7=1

15-2×7の計算過程をみてみよう。まず①2×7=14と計算し②15−14=1を計算する。

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これを筆算に置き換えたとしても同じ計算過程をしなければいけない。

 

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 これが割り算の筆算が引き算な理由である。

おまけ:四則演算の順番

四則演算では、掛け算・割り算の先に、足し算・引き算を後に計算するルールがある。これは掛け算の成り立ちを理解していれば自然と理解できるものである。

2+2+2+2+2=10\\2×5=10

 であったから、たとえば、

2+2×5

は原理的に

2+\,2+2+2+2+2

と同じ計算結果にならなければならない。

2+\,2+2+2+2+2=12

であり、

2+2×5=12

である。

ゆえに、先に足し算を計算して

2+2=4\\4×5=20

は誤りである。

ゆえに、×を先に計算して+を後に計算するのである。では-と÷ではどうだろうか。

12-6÷2

まず引き算は負の数を考えることで足し算にできる。割り算は逆数をとることで掛け算にできる。

12+(-6)×\frac{1}{2}

-、÷でも+,×と同じ順番となる。ゆえに掛け算・割り算の先に、足し算・引き算を後に計算する。

「割り算は逆数をとることで掛け算にできる」について

6÷2\\=\frac{6}{2}\\=6×\frac{1}{2}

である。

では

10-5÷2 

のように割り算が割り切れないときどうしようか。5÷2=2余り1であり、割り切れない。ここで計算の答えを出さないまま、計算を継続させることを考える。

5÷2

は式であり計算を表すのだが、これを

\frac{5}{2}

と表し、数値として考えて計算を続けるわけである。これが分数というものである。

おまけ:電卓で余りを計算する方法

15÷2=\frac{15}{2}=7.5

この少数部分0.5は余り1を2で割った数である。1÷2=0.5

ゆえに、(少数部分)×(割る数)=(余り)となる。0.5×2=1

大抵の電卓では割り算を計算すると、少数で表される。しかしながら、余りを求めたいときがあるだろう。ここで(少数部分)×(割る数)=(余り)を使う。

たとえば

528÷13=40.6153846...

整数部分40を引いて、13を掛けると余りになる。

40.6153846...-40=0.6153846..\\0.6153846..×13=8

実際に電卓で計算してみると8とでてくる。

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余り計算 - 高精度計算サイト

おまけ:0で割る

定数÷0も引き算で表すことができる。たとえば、5÷0なら5から何回0が引かれるかの計算であるから

5÷0\\5-0-0-0-0-0-0-0-……

となり永遠に計算が終わらないので「解なし」となる。

仮に0が無限回引かれると解釈すれば

5-0-0-0-0-0-0-0-……\\5-0×∞=5\\5÷0=∞余り5

となるが、余り5もまた0で割れるので永遠に計算が続く。

この計算は永遠に計算過程であり計算結果がでない計算不能となる。5÷0なら5から何回0が引かれるかと聞かれたら「何回でも」と答えざる得ない。

形式的に

\frac{定数}{0}=∞

と表すことができる。これは

1=0.99999…

が理解できるなら

1-1=0\\1-0.9999…=0.00…01\\0=0.00…01

と、0を完全な0でなく不完全な0とみなして

\frac{定数}{0}=\frac{定数}{0.00…01}=∞

である。