Frog in a White Coat.

アニメと数学。




微分と積分は逆関係。

 数学3まで終わりました。

巻末にある「以上で〜」「おわりに」の文章を読むたびに感慨深いものがある。ややこしい計算、結局私は成長できたのだろうか、ふと思ってしまう。初歩的な参考書で高校数学、誰かと比較すれば自分が劣ることは明白。高校生はこの内容を覚えているのか、私は中退しちゃったからな(あとあと高卒しました)。

学歴?偏差値?成績?

誰かと比べてなんの意味があるのだろうか。知識とは本人が習得して出来るもの。誰かと競争する勉強なんて本質ではない。

「常識」とは何か。

小学校で3×5と5×3は違いますと教えられたら子供はそれを信じるしかない。それが当たり前になっていき常識となっていく。つまり常識とは世代よって変わるものである。厳密に言えば、その時代の教師によって変わってしまう。6年あれば高校生は教員資格をとり教師になれる。だいたい6年くらいで「常識」とは移り変わっていく。

歳の差が6以上になると、同じ人間であるが違う生き物と感じ始める。

これが老いか。

 

まあどうでもいい話はこれくらいにして。

数学はやっている最中は「ふんふん、なるほどね、全て分かった」となるのに、1単元を一通りやった後、「え?私はいま何を学んだんだ?」と我にかえる学問である。

数3には微分とか積分とか超やっかいな代物があるが、滞りなく学び終えた。問題になったのが、点と線の定義である。

点を集めると線になり、線を集めると面になる。まあ、これはいい。積分とは線をあつめて面にして面積を求めるのだけど。よくよく考えてみたら、「点」とは何かという哲学的な問いになる。

私は超絶昔に「点とは大きさが0である」と教わったものだから、点を合わせれば線になり、線を合わせれば面になり、あれ、点は大きさ0だから線も大きさ0になって、面積も大きさ0になる、おかしい、となった。

私は普通の高校生時代に、「現実世界に完全な球体は存在しない」とドヤってた記憶があり、理由は「球体の接点は点になるけど大きさ0だから接しない」と言ってた記憶が、あ、、あ、私の黒歴史が。

点 (数学) - Wikipedia

 

積分と微分は逆関係

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微分と積分を学び始めると「微分と積分は逆の操作」だと教わる。受験生だとそうなんだと受け入れればいいが、私は考察したいのでなぜこうなるのかを考察していく。

まず、微分と積分は別々の学問として独立してあった。

そこに物理学ニュートンやライプニッツなどが、これって逆の操作してるよねって言い始めた経緯がある。ニュートンは万有引力で有名な物理学者である。微分と積分を学んでいくと、「これって物理学の理論そのものじゃない?」と思い始めるのだが、物体の運動を考えるために創られたのだから、その片鱗を感じることになる。

 

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 ∮(インテグラル)aからbの区間のf'(x)をxで積分する。

\int^b_af^{'}(x)dxとは、長方形の面積で、dxが横幅、f^{'}(x)が高さの長方形の掛け算をしている。これがaからbの区間足されたものである。
 

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曲線の囲まれた図形の面積を求める。
下のように曲線を描くf^{'}(x)のx軸と区間abに囲まれた面積は、長方形をたくさん描くとできあがる。横幅dxは凸凹してるが、dxをむちゃくちゃ小さくすることでなめらかな曲線の面積になる。

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長方形の面積を足した総和が曲線を含む図形の面積になる。
ふむふむ、なるほど、と言った感じ。ここまではなんとなく理解できる。
問題はここから。
\int^b_af^{'}(x)dxを計算するとき、総和なんでしょと思って足し算を思い浮かべるが、実際はこうなる。

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\int^b_af^{'}(x)dx\\=[f(x)]^b_a\\=f(b)-f(a)
 
足し算どころか引き算だし、f^{'}(x)f(x)に代わっている。これを計算してf^{'}(x)の面積が出るの?
これは一体なんの計算なの?
これを解き明かしていく。
 

秒速5センチメートル

積分は物理学から産まれたのなら物理を考えれば積分を考えることができる。

秒速5センチメートルで動く物体を考える。

秒速5センチメートルは1秒間に5cm進むこと。時速60kmなら1時間で60km進む。

秒速5cmとは「速さ」である。速さとは単位時間あたりに進む距離のこと。

秒速5cmは1秒間に5cm進むのだから、速さは「秒速5cm」で表わせる。

速さ=距離÷時間。

0の位置にある物体が1秒後には5cmの位置、2秒後には10cmの位置、3秒後には15cmの位置にあることになる。

縦軸を距離、横軸を時間で表したグラフを考えると

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2分の1秒のとき2.5cmの位置にいて、と点を打っていくと直線のグラフになる。グラフとは白紙からポンと線が現れるのではなく、最初から点が無数にあってその点に対応する点が浮かび上がるイメージ。

ここで1秒から3秒までのグラフの傾きを考えると、

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傾きはxの変化量分のyの変化量。この場合、xは時間でyは距離であるから、時間の変化量分の距離の変化量である。

傾き=距離の変化量÷時間の変化量。

ここで「距離÷時間=速さ」だったと思い出して、傾きは速さを意味していると解る。

次に、縦軸が速さ、横軸が時間のグラフを考える。

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秒速5cmなのだから1秒後でも2秒でも速さは秒速5cmで一定である。さっきの距離と時間のグラフで、1秒、2秒、での傾きを求めてもいい。

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ここで1秒から3秒までのグラフの面積を考える。この面積は長方形で、底辺が時間、高さが速さであるから、この面積を求めると時間×速さ、つまり距離を求めている。

1秒から3秒までの2秒間に速さ5cmの物体は5×2=10cm進む。

ここでまた距離と時間のグラフに戻って、1秒から3秒までの距離を探してみる。

これはグラフのどこにあるのだろうか。

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距離のグラフなのだから縦軸が距離である。1秒から3秒までに15cmー5cmで10cm進んだ。ようやく引き算がでてきた。

 

いま2つのグラフがありそれぞれの関係はこうなる。

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右のグラフの面積を求めることは、左のグラフで距離の差を求めることに等しい。

速さのグラフを求めるには距離のグラフの傾きを求めればいい。

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もし距離Xのグラフが曲線で表されたとき、右側のグラフはどうなるだろうか。右側のグラフは左側のグラフの傾きで求まる。

曲線の傾きを求めることは、微分の操作だ。

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何らかのグラフが与えられたとき、このグラフを微分すると、右側の傾きのグラフになる。グラフの概形は解らなくてもいい。そして右側の区間abの面積を求めることは、左のグラフの縦軸の差になる。

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これからこう。f:id:DrLS:20210125025942j:plain

※グラフの概形は省略。

左のグラフの差は右のグラフの面積と等しい。

これらは微分と積分の逆関係を意味している。

\int^b_af^{'}(x)dx\\=[f(x)]^b_a\\=f(b)-f(a)

 

が求められたわけだ。

 

終わりに

積分と微分は別々に創られた学問であり、ニュートンやライプニッツとかが微分と積分の逆関係を示したことで、じゃあはじめから積分しておいたらいい、と創られたのが不定積分。積分の操作は微分したらどうなる?つまりは左側のグラフの式がどうなるのかは求まった式を微分すれば元に戻るかで解るわけだ。

 

距離を時間で微分したら速さになる。

速さを時間で微分したら加速度になる。速さと時間のグラフの傾きが加速度を示しているから。

 

この内容は参考書にも載ってない。たぶん大学生になったら興味があるなら調べてみてね的な立ち位置。受験生は公式にあうようにただ計算をさせられるわけ。

 

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私は特に右の面積が左の差になることに気づいたときには、ニュートンとライプニッツやべー天才じゃんこれは世に出してはいけないほどの閃きだ、ニュートンとライプニッツやべーと一人盛り上がってました。

 

微分積分は物理学の理論。